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Stand: 2022-01-17
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Vorwort: Die ist keine Anleitung, die sich zum Selbststudium ohne Begleitung eignen würden. Sie stellt eher eine kommentierte Formelsammlung dar, die das nötigste und auch wirklich nur das sagt.
Zu den Grundlagen der Grundlagen Elektrotechnik gehört der sichere Umgang mit Zehnerpotenzen und deren Abkürzungen, um die Einheiten den Bedürfnissen entsprechend anpassen zu können. Die "Vorsätze für Maßeinheiten" sind im folgenden Wikipedia-Artikel hinreichen kurz und prägnant abgehandelt, so dass hier darauf verwiesen wird.
Wikipedia: Vorsätze für Maßeinheiten
![[Abbildung: Einfache Schaltung, komplett beschriftet, auch die Energieübertragung ist eingezeichnet]](./_images/Stromkreis_einfach_01.jpg)
Einfacher geht ein Stromkreis kaum. Hier ist er etwas "überbeschriftet", aber konsequentes Beschriften ist die halbe Stromkreisanalyse, daher lohnt es sich, dabei gründlich vorzugehen. Die roten Pfeile verdeutlichen die Stromrichtung innerhalb des Bauteils.
Hinweis zu Schaltzeichen und Beschriftungen:
Spannungspfeile sind grundsätzlich neben ein Schaltungselement eingezeichnet. Die Pfeilspitze zeigt in die Richtung des niedrigeren Potenziales. Ihre Länge ist nicht proportional zum Wert der Spannung! Anfang und Ende des Pfeiles gibt die Orte im Schaltplan an, über denen die Spannung anliegt.
Strompfeile sind immer auf die Leitung, selten sogar in ein Bauteil hinein gezeichnet. Um Verwechslungen mit Dioden zu vermeiden, sind die Pfeile ausgemalt. Es wird mit diesem Pfeilen ausschließlich die technische Stromrichtung dargestellt.
Der Stromkreis heißt Stromkreis, weil der Strom im Kreis fließt! Eine Stromquelle "erzeugt" keinen Strom, sondern treibt ihn nur an. Ein Stromsenke oder Verbraucher "verbraucht" keinen Strom, sondern entnimmt ihm Energie, nutzt also den Antrieb aus der Quelle.
Strom fließt in technischer Stromrichtung außerhalb von Quellen von Plus nach Minus, innerhalb von Quellen aber von Minus nach Plus, sonst wäre es kein Stromkreis!
Liegen Strom- und Spannungspfeil an einem Bauelement in gleicher Richtung, wird dem System Energie entnommen, es handelt sich um eine Last oder Senke. Liegen Strom- und Spannungspfeil an einem Bauelement in entgegengesetzter Richtung, wird dem System an dieser Stelle Energie zugeführt, es handelt sich um Quelle.
Hier der Vergleich zur Hydraulik: Druck = Spannung, Strom = Volumenstrom.
Eine Spannungs-/Stromquelle ist eine Pumpe, ein Verbraucher eine Drosselstelle z.B. eine Turbine oder ein Mühlrad. In einer Pumpe fließt der Volumenstrom vom niedrigen Druck zum hohen Druck (also "von minus nach plus"), weil Energie zugeführt wird. Am Mühlrad oder in der Turbine fließt der Volumenstron vom hohen zum niedrigen Druck (also "von plus nach minus"), es wird Energie entnommen.
Der Vergleich mit "Wasser" oder allgemeiner einem Fluid, einer Flüssigkeit, die im Kreis gepumpt wird, ist ein guter Ratgeber, wenn es um elektrischen Strom geht. Natürlich darf man das Modell nicht überstrapazieren, aber Vorstellungen wie: "Eine Diode ist ein federbelastetes Rückschlagventil" oder "Eine Spule ist eine Turbine mit großem Schwungrad an der Welle" sind sehr brauchbare Gleichnisse.
R = Widerstand
[R] = Ω, Ω = Ohm (Georg Simon Ohm, deutscher Physiker, 1787-1854, Ohm'sches Gesetz, 1821)
U = Spannung
[U] = V, V = Volt (Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Graf von Volta, 1745 - 1827, Froschschenkel, voltasche Säule, 1800)
I = Strom
[I] = A, A = Ampère (André Marie Ampère, 1775 - 1836, Leiteranziehung, 1820, Stromrichtung)
Ist hier nur ein Platzhalter.
Die Kirchhoff'schen Regeln gehen zurück auf Gustav Robert Kirchhoff, dt. Physiker, 1824 - 1887.
Summen aller Spannungen in einer Masche ist gleich Null. Vereinfacht gesprochen gilt bei nur einer Quelle im Stromkreis: Summen der Verbraucherspannungen ist gleich der Quellenspannung. Anmerkung: Verbraucher, Quelle sind bloße Begriffe, keine physikalische Aussagen über "Energie".
Die Maschenregel ist ein physikalischer Erhaltungssatz: Ladung bleibt im Stromkreis erhalten.
Ist hier nur ein Platzhalter.
Reihenschaltung:
Im unverzweigten Stromkreis ist der Strom an jeder Stelle gleich groß. Die Teilspannungen addieren sich zur Gesamtspannung.
Rges = R1 + R2 + ... + Rn
Reihenschaltungen sind in der energie-elektronischen Praxis relativ selten. Den Klassiker gibt es einmal im Jahr in Form der Weihnachtsbaumbeleuchtung zu sehen.
Summe aller Ströme an einem Knoten ist gleich Null (rein +, raus -). Rein- und rausfließende Ströme sind in der Summe gleich groß.
Die Knotenregel ist ein physikalischer Erhaltungssatz: Energie bleibt im Stromkreis erhalten.
Ist hier nur ein Platzhalter.
Parallelschaltung:
In der Parallelschaltung sind die Spannungen aller parallelen Zweige gleich groß. Die Teilströme addieren sich zum Gesamtstrom.
3 Formeln für verschiedene Anwendungen/Szenarien
allgemein:
Kehrwerte addieren, dann Kehrwert der Summe bilden (Hinweis auf Taschenrechnerbedienung):
Rges = 1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3 +... + 1/Rn)
Achtung!
Obwohl diese allgemeine Formel kompliziert aussieht und mit unbeliebten Dingen wie Kehrwerte daherkommt, ist diese Formel die beste für Nutzung mit dem Taschenrechner! - Jeder Wert muss nur genau einmal eingetippt werden und es werden keine Klammern benötigt:
Tipp-Anleitung:
Wert_1 [1/x] [+] Wert_2 [1/x] [+] ... [+] Wert_n [1/x] [=] [1/x] [=]
Auf vielen Taschenrechnern heißt die [1/x]-Taste auch [x^-1].
für genau zwei Widerstände:
Rges = R1 * R2 / (R1 + R2)
Diese Formel ist gut für überschaubare Berechnung im Kopf, aber nicht sinnvoll für die Eingabe in einen Taschenrechner.
für beliebig viele genau gleiche Widerstände:
Rges = Einzelwiderstand / Anzahl
Es ist wichtig, diese Formel zu kennen, um schnelle Abschätzungen durchführen zu können!
Ist hier nur ein Platzhalter.
Die Stern-Dreieck-Umwandlung oder (für unsere Zwecke wichtiger) Dreieck-Stern-Umwandlung wird benötigt, wenn man Widerstandsnetzwerke berechnen muss, für die die Regeln der Reihen- und Parallelschaltung nicht ausreichen, weil es "Querverbindungen" gibt. Die einfachste Schaltung, bei der dies der Fall ist, ist die so genannte Brückenschaltung.
Brückenschaltung.
Zwar sieht es zunächst so aus, als ob es sich einfach nur um zwei Spannungsteiler handeln würde. Das ist auch der Fall, aber der es sind jeweils Spannungsteiler, die sich gewissermaßen "gegenseitig" belasten. Mit den Regeln für die Reihen- und die Parallelschaltung lässt sich die Schaltung nur für den Spezialfall analysieren, dass die beiden Spannungsteiler genau dieselbe Spannung an den Anschlüssen der Brücke bereitstellen ("abgeglichene Brückenschaltung"). Durch diese würde dann kein Strom fließen und ihr Widerstandswert wäre für die Betrachtung irrelevant.
Brückenschaltung mit Dreieck "abc".
Wenn es aber gelänge den Dreipol "abc" von einem Dreieck in einen Stern "abc" umzuformen, der sich identisch verhält, wäre es eine einfache Reihenschaltung eines Einzelwiderstandes und einer Parallelschaltung zweier Reihenschaltungen. - Und diese wäre nach bekannten Regeln zu berechnen.
Brückenschaltung mit Stern "abc".
Genau das leistet die Dreieck-Stern-Umwandlung:
Ra = Rac * Rab / (Rac + Rab + Rbc) Rb = Rab * Rbc / (Rac + Rab + Rbc) Rc = Rac * Rbc / (Rac + Rab + Rbc)
P = U * I (Randbedingung: keine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom!)
[P] = W = V * A - in Watt angegeben ist das immer Wirkleistung,
W = Watt (James Watt, schottischer Erfinder, 1736 - 1819, Verbesserung der Dampfmaschine)
[S] = VA - Scheinleistung immer in VA,
[Q] = var - Blindleistung in var.
(Extra-Kapitel zu Wechselstrom notwendig)
P = I^2 * R = (I * R) * I (U wurde durch das Ohm'sche Gesetz "ersetzt")
P = U^2 / R = U * (I / R) (I wurde durch das Ohm'sche Gesetz "ersetzt")
Quadratischer Zusammenhang! - Das heißt es fließt bei 80 % Spannung auch nur 80 % Strom, das ergibt also nur 0,8 * 0,8 = 64 % Leistung! Wichtig für die Einschätzung des Spannungsfalls auf Leitungen und für die Enschätzung von Effektivwerten bei Wechselströmen (da diese über die Leistung definiert sind).
Wenn man also 3 % Spannungsfall akzeptiert, dann bedeutet das, dass man (0,97 * 0,97 = 0,9409) rund 6 % Leistungseinbuße am Verbraucher zu akzeptieren bereit ist. Diese 6 % Leistung werden auf der Leitung umgesetzt!
Die Elektrische Arbeit ist das, was der (gewöhnliche) "Stromzähler" zählt. Er summiert also die Leistung über die Zeit als verrichtete Arbeit auf.
P = W / t <==> W = P * t
W = E = Q; Arbeit = Energie = Wärmemenge, physikalisch dasselbe in jeweils anderer Ausprägung.
Einheiten: [W] = Nm = [E] = Ws = [Q] = J
Achtung:
Die "Stunde" ist keine metrische sondern eine nichtdezimale Einheit. Zwischen der Wattsekunde (Ws) und der Kilowattstunde (kWh) liegt der Faktor 3.600.000.
1 kWh = 3.600.000 Ws <==> 1 Ws = 1/3.600.000 kWh
Bei den sehr üblichen Megajoule (MJ) ist es dann "nur noch" der Faktor 3,6:
1 kWh = 3,6 MJ <==> 1 MJ = 1/3,6 kWh
Mechanische Arbeit:
W = F * s mit Bedingung F||s, "F parallel s", s ist Strecke
Drehmoment:
M = F * l mit Bedingung F ⊥ l, "F senkrecht auf l", l ist Hebelarm
Achtung! - Mechanische Arbeit und Drehmoment haben dieselbe Einheit "Nm", der Zahlenwert ist aber wegen der Richtung der Vektoren nicht derselbe!
allg.:
P = 2 * π * M * n
[P] = W = Nm / s
W = 2 * π * M
[W] = Nm = [M] = Nm !!!
Ist hier nur ein Platzhalter.
Der Term 2 * π macht aus dem Hebelarm (Radius des Kreises, senkrecht zur Kraft) eine Strecke (Umfang des Kreises, parallel zur Kraft)!
speziell für elektrische Maschinen:
P = M * n / 9549
[P] = kW = 2 * π * Nm * 1/min / (60 s/min * 1000 W/kW) - Wichtig wegen der "maschinenüblichen" Einheiten!
9549 = 60 s/min * 1000 W/kW / (2 * π) - In Tabellenbüchern wird diese Zahl meist ohne Maßeinheit geschrieben, weil sie nach dem "Kürzen" tatsächlich dimensionslos ist.
Der dimensionslose Wirkungsgrad η ist das Verhältnis von abgegebener Leistung zu zugeführte Leistung in einem System. Er ist immer kleiner als 1.
η = Pab / Pzu
[η] = 1
Ist hier nur ein Platzhalter.
Pzu - Pab = Pverlust
Wirkungsgrade von hintereinander geschalteten System der Energieumwandlung multiplizieren sich zum Gesamtwirkungsgrad.
ηgesamt = η1 * η2 * η3 * ... * ηn
Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes und umgekehrt. Obwohl der Widerstand "irgendwie vertrauter" erscheint, ist er eine ungewöhnliche Größe, weil er angibt, "wie schlecht" etwas funktioniert. Der Leitwert gibt an, wie gut ein Leiter leitet.
Leitwert
G = 1/R
[G] = S (Siemens)
Der Spezifischer Widerstand ist eine Materialkonstante. Sozusagen die Antwort auf die Frage, wie groß der Widerstand eines ein Meter langen Stückes eines Probemateriales mit dem Querschnitt einen mm^2 ist.
ρ = (R * A) / l
[ρ] = (Ω * mm^2) / m = µΩ * m
Bespiele (je größer der Wert, desto schlechter der Leiter):
Cu ==> 0,0175 (Ω * mm^2) / m Al ==> 0,0265 (Ω * mm^2) / m Ag ==> 0,01587 (Ω * mm^2) / m Au ==> 0,02214 (Ω * mm^2) / m Fe ==> 0,15 (Ω * mm^2) / m
Die Elektrische Leitfähigkeit ist der Kehrwert des Spezifischen Widerstandes, also der Kehrwert derselben Materialkonstante.
γ = (G * l) / A
[γ] = (S·m) / mm^2 = MS/m
Einschub
Es gibt auch die Formelzeichen σ und κ, hier wird γ verwendet, weil:
R Widerstand und ρ (das griechische kleine r) Spezifischer Widerstand und
G Leitwert und γ (das griechische kleine g) Elektrische Leitfähigkeit
gut zu merken sind.
Bespiele (je größer der Wert, desto besser der Leiter):
Cu ==> 58 (S·m) / mm^2 Al ==> 37 (S·m) / mm^2 Ag ==> 61 (S·m) / mm^2 Au ==> 45 (S·m) / mm^2 Fe ==> 10 (S·m) / mm^2
Einheit erklären: [κ] = MS / m = mm^2 / (Ω * m)
Wie man sieht leitet Silber von allen Metallen am besten, das in der Industrie eingesetzte Kupfer ist schon das am zweitbesten leitende Metall. Gold liegt in der Rangliste erst auf Platz drei, Aluminium schon auf Platz vier.
Silber korrodiert durch den in der Luft enthaltenen Schwefelwasserstoff zu Silbersulfid (der typische schwarze Belag), das elektrisch nicht leitend ist. Daher ist Silber ein sehr guter Leiter, aber ein schlechter Kontaktwerkstoff. Bei Gold ist es umgekehrt: zwar leitet Gold nicht einmal so gut wie Kupfer, oxidiert aber überhaupt nicht, so dass Kontaktflächen aus Gold sehr gut leiten. Aluminium wird (wegen des viel geringeren Preises im Vergleich zu Kupfer) bei Erdkabeln mit großem Querschnitt und auch bei Freileitungen verwendet. Seine Verarbeitung ist aber nicht einfach, das es sich an der Luft mit nicht leitendem Aluminiumoxid überzieht (einer sogenannten "Passivschicht"), das vor einem Klemmvorgang (also einer Kontaktierung) sorgfältig entfernt werden muss.
In der DDR wurden auch nach dem Zweiten Weltkrieg viele Installationen in Aluminium ausgeführt. Dazu hatten die dortigen Elektriker ein kleines Werkzeug, das wie ein Anspitzer aussah und die Oxidschicht abgeschabt/abgeschliffen hat, danach wurde die Ader durch Fett vor erneuter Korrosion geschützt.
Ohm'sches Gesetz
U = R * I
Das gilt ja an jedem Widerstand, über einen Teilwiderstand fält also auch nur eine Teilspannung ab, die ΔU genannt wird (Delta ist das große griechische D, für "Differenz"). Der Strom ist in einem unverzweigten Stromkreis überall gleich groß, alle Teilspannungen addieren sich zu "Null" (Maschenregel).
In dieser Betrachtung wird vernachlässigt, dass es sich in Energieverteilungsanlagen um Wechselstrom handelt, der im Allgemeinen komplexe Lasten (also induktive und kapazitive Widerstände) treibt. Das würde nämlich eine entsprechende komplexe Wechselstromrechnung und damit vor allem die genaue Kenntnis der Last erfordern.
Vorschriften:
Nach DIN 18015 Teil 1 soll der Spannungsfall zwischen dem Zähler und den Steckdosen oder Geräteanschlussklemmen nicht mehr als 3 % betragen.
Diese 3 % sind der Grund für die häufig genannten 7 V für ΔU (gültig nur in 230 V-Netzen).
Der besseren Zahlenwerte wegen wird hier versuchsweise mit dem Leitwert G gerechnet
G = (γ * A) / l
mit
[A] = mm^2 und
[l] = m (das entspricht also den Erwartungen hinsichtlich der Einheiten)
Doch Vorsicht:
l ist die gesamte Leiterlänge im Stromkreis, es ist also die Hin- und die Rückleitung zu berücksichtigen.
l = 2 * le
le ist "einfache Leitungslänge" oder auch "effektive" Leitungslänge einer gewöhnlichen mehradrigen Leitung.
Hier ein Beispiel, das sich im Kopf rechnen lässt:
Beispiel 10 m (also 20 m!), 2,5 mm^2 Cu, also z.B. NYM 3G 2,5 mm^2
Berechnung des Leitwertes
G = (58 (S·m) / mm^2 * 2,5 mm^2) / 20 m
G = 58 * 2,5 / 20 = 145 / 20 = 7,25 S
Berechnung des Spannungsfalls
ΔU = R * I = I / G
ΔU = 20 A / 7,25 S = 2,76 V
Erläuterung:
Das Ergebnis ist zwar mit Taschenrechner ausgerechnet, aber da 21 / 7 = 3, war schon durch eine Abschätzung klar, dass es unterhalb von 7 V und daher erlaubt ist. Das Rechnen mit Leitwerten ist vielleicht ungewohnt, aber in der Praxis sinnvoll, da die Zahlenwerte relativ schnell Abschätzungen zulassen. Selbst wenn man es in den Taschenrechner eintippt, sind die Zahlen weniger anfällig für Tippfehler.
Der Wert 20 A wurden hier wegen der max. zulässigen Strombelastbarkeit gewählt.
Aber die Rechnung ist leicht für 16 A zu variieren:
ΔU = 16 A / 7,25 S = 2,21 V
Noch eine Variation auf 18 m nutzbare(!) Leitungslänge (weil das vielleicht erklärt, wieso viele Elektromeister gerade 18 m diesen Wert als Grenzwert verwenden):
G = 145 / 36 = 4,03 S (also 4 S)
ΔU = 16 A / 4 S = 4 V
Somit bleiben noch 3 V Spannungsfall auf dem 1,5 mm^2-Teil der Anlage. Der Spannungsfall ist bei gegebenem Querschnitt und gegebener Stromstärke proportional zur Leitungslänge.
Man könnte vielleicht auch auf andere Weise praxisorientiert herangehen und doch mit Widerständen rechnen, die man aber ein bisschen "vorbereitet":
Für einen Meter Leitung, also le = 1 m (das sind l = 2 m!) 2,5 mm^2 Cu-Leitung:
ρ = (R * A) / l
R = (ρ * l) / A
R = 0,0175 * 2 / 2,5 = 0,014 Ω
Für die Praxis kann man also sagen:
2,5 mm^2 Kupfer-Leitung hat 0,014 Ω/m Widerstand
Nochmal für 1,5 mm^2
R = 0,0175 * 2 / 1,5 = 0,023 Ω
Also: 1,5 mm^2 Kupfer-Leitung hat 0,023 Ω/m Widerstand
Weiter für 18 m (le!) 2,5 mm^2:
18 m * 0,014 Ω/m = 0,252 Ω
ΔU = R * I = 0,252 Ω * 16 A = 4,032 V = 4 V
(dieses Ergebnis passt also zu den Ergebnissen vorher)
Man kann die Frage aber auch gleich andersherum stellen:
Wie lang darf eine Leitung bei gegebenen Strom und Querschnitt überhaupt werden, bis ein bestimmtes ΔU überschritten ist?
Nehmen wir die verbleibenden zulässigen 3 V auf der 1,5 mm^2-Leitung:
Dazu muss man nach R auflösen:
R = ΔU / I = 3 V / 16 A = 0,1875 Ω
le(!) = 0,1875 Ω / 0,023 Ω/m = 8,15 m
Damit darf der Verbraucher insgesamt nur 26 m (18 m + 8 m) von der Verteilung entfernt sein.
An den ganzen Rechnungen also deutlich zu sehen, dass die Vorschrift "maximal 3 % Spannungsfall" sehr schnell eine viel stärkere Einschränkung hinsichtlich der zulässigen Strombelastbarkeit darstellt als die Wärmeentwicklung. Heutzutage (mit FI-Schutzschalter!) ist jedoch der Spannungsfall nicht mehr so "sicherheitskritisch" wie das früher (ohne FI-Schutzschalter) der Fall war. Nur die Geräte laufen halt nicht so gut und man bezahlt den "Verbrauch" auf den Leitungen (die warm werden).
Eher stillschweigend wurden bisher "Ideale Spannungsquellen" betrachtet. Ideale Spannungsquellen haben die Eigenschaft, dass ihre Spannung unter allen Umständen konstant ist. Sie ist also nicht abhängig von einer angeschlossenen Last. Im Falle eines Kurzschlusses (Lastwiderstand = 0) würde ein unendlich großer Strom fließen.
"Reale Spannungsquellen" sind daher Reihenschaltungen einer Idealen Spannungsquelle und einem Widerstand. Da sich dieser Widerstand aus Sicht des Stromkreises innerhalb der Realen Spannungsquelle befindet, heißt er "Innenwiderstand" (Ri).
Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist "0"!
Ersatzschaltbild einer realen Spannungsquelle, der Spannungspfeil am Ri zeigt in entgegengesetzte Richtung von U0!
Ukl = U0 - Ri * I
Wenn der realen Spannungsquelle kein Strom entnommen wird, ist die Klemmenspannung also gleich der Spannung U0. Das ist näherungsweise der Fall, wenn die Spannung mit einem sehr hochohmigen Messgerät gemessen wird. Das Messgerät stellt aber tatsächlich eine Last dar, die bei einer realen Spannungsquelle dazu führen kann, dass deren Klemmenspannung bereits kleiner ist als die Quellenspannung.
Anzahl der Zellen bestimmen:
I * (Ri * n + Ra) = n * U0
Werden reale Spannungsquellen in Reihe geschaltet, addieren sich die Quellenspannungen zur Gesamtquellenspannung und die Innenwiderstände zum Gesamtinnenwiderstand.
Wenn der Innenwiderstand einer realen Spannungsquelle bekannt ist und man diese Spannungsquellen zusammenschaltet, kann man den Innenwiderstand dadurch bestimmen, dass man die idealen Spannungsquellen "weglässt" (also durch ideale Leiter ersetzt), denn ihr Widerstand ist ja "0". Dann errechnet man den Ersatzwiderstand zwischen den Klemmen der realen Spannungsquellen und erhält so den Gesamtinnenwiderstand.
Bei diesem Beispiel sollen die Innenwiderstände des Ladegerätes (RiL) und der Batterie (RiB) als konstant angenommen werden und die Spannungen (U0L und U0B) ebenfalls. Das Ladegerät hat eine höhere Spannung als die Batterie, es wird also Strom in die Batterie hinein fließen. Die Stromrichtung innerhalb(!) der Batterie ist also von (+) nach (-), damit ist die Batterie keine Quelle mehr, sondern Verbraucher.
Die Spannungsdifferenz treibt den Strom, und die Innenwiderstände liegen in Reihe. Der Ladestrom lässt sich daher berechnen als:
I = (U0L - U0B) / (RiL + RiB)
Damit stellt sich folgende Klemmenspannung ein:
UKl = U0L - RiL * I = U0B + RiB * I
Bei einem realen Ladevorgang sind die Werte von U0B und RiB abhängig vom Ladezustand der Batterie. Wenn das Ladegerät geregelt arbeitet, sind auch dessen Quellenspannung und Innenwiderstand nicht konstant.
In der Realität kommt dieser Fall bei der klassischen Starthilfe ("Überbrücken") vor, bei der zwei Starterbatterien parallel geschaltet werden. Beim Starthilfe "gebenden" Fahrzeug läuft normalerweise der Verbrennungsmotor, wodurch der Generator auch dessen Batterie lädt. Das soll hier zur Vereinfachung nicht berücksichtigt werden.
Vereinfachter Schaltplan beim "Überbrücken" (Parallelschalten) zweier Autobatterien.
So ergibt sich eine Parallelschaltung mit drei Zweigen: je einer Batterie und dem Starter als Last. Dieser wird über das Starterrelais mit den Batterien verbunden, ist also zunächst nicht Teil des Stromkreises.
Die Batterie mit dem volleren Ladezustand wird die leere Batterie aufladen. Es fließt ein Ausgleichsstrom zwischen den beiden Batterien und es stellt sich eine gemeinsame Klemmenspannung ein (wie im vorherigen Beispiel):
I = (U0B2 - U0B1) / (RiB2 + RiB1)
UKl = U0B2 - RiB2 * I = U0B1 + RiB1 * I
Die Frage ist nun, wie groß der Strom sein wird, der fließen kann, wenn der Anlasser betätigt wird. In diesem Moment wird beiden Batterien die erhebliche Last parallel geschaltet und beide Batterien treiben als gemeinsame Spannungsquelle den Strom.
Die Berechnung erfordert das Lösen eines Gleichungssystems. Die Lösung dieses Gleichungssystems kann aber anschaulich angegeben werden, wenn man die Methode des Berechnens einer "Ersatzspannungsquelle" anwendet.
Beide Batterien haben (ohne Starter) verschaltet, die oben berechnete Klemmenspannung UKl. Eine "äußere" Last gibt es nicht. Daher wird UKl als U0' der neuen Spannungsquelle aufgefasst. Wenn außerdem noch deren Innenwiderstand angegeben werden kann, wäre die Aufgabe leicht lösbar.
Das ist tatsächlich der Fall: Zur Bestimmung des Innenwiderstandes werden die idealen Spannungsquellen durch ideale Leitungen (also "Kurzschlüsse") ersetzt und der Widerstand zwischen den Klemmen wird berechnet:
Ist hier nur ein Platzhalter.
Ri' = RiB2 || RiB1 = 1 / (1/RiB2 + 1/RiB1) (Parallelschaltung)
Das Verhalten dieser Ersatzspannungsquelle und dem Anlasser als Last ist nun als einfache Reihenschaltung berechenbar:
Anlasser versorgt von der Ersatzspannungsquelle gebildet aus zwei parallel geschalteten Batterien.
Ianl = U0' / (Ri' + RAnl)
Die Spannung über den Anlasser ist die Klemmenspannung beider(!) Batterien im Moment des Startvorganges:
UAnl = UKl' = Ianl * RAnl
Das gedankliche Modell der Ersatzspannungsquelle kann viele Aufgaben erheblich vereinfachen und relativ anschaulich lösbar machen!
Die Kennlinie einer Spannungsquelle wird in einem Diagramm U über I angegeben. (Achtung, nicht verwechseln: bei Widerständen ist es I über U)
Kennlinien von Spannungsquellen.
Schnittpunkt mit der U-Achse (I=0) ist die Quellenspannung U0. Der Schnittpunkt mit der I-Achse (U=0) ist der Kurzschlussstrom IK
Der Betrag (ohne Vorzeichen) der Steigung (die ist negativ) ist Ri! Denn:
Ri = U0 / IK
oder allgemeiner:
Ri = ΔU / ΔI
Je flacher die Kennlinie einer Spannungsquelle, desto kleiner ist ihr Innenwiderstand und desto steifer ("konstanter") ist ihre Klemmenspannung. - Ein steile Kennlinie dagegen bedeutet, dass die Klemmenspannung "weich" ist, also schon bei kleiner Belastung stark einbricht, weil der Innenwiderstand groß ist.
Bei realen Spannungsquellen muss deren Innenwiderstand durch Messung ermittelt werden. Der offensichtlichste Ansatz wäre, die Quellenspannung mit einem sehr hochohmigen Voltmeter zu messen und dann den Kurzschlussstrom mit einem sehr niederohmigen Amperemeter zu messen. Praktisch ist die Messung des Kurzschlussstromes aber in den seltensten Fällen durchführbar.
Daher ist die sinnvollste Methode, die Spannungsquelle mit zwei Lastwiderständen zu belasten, deren Werte sich ungefähr eine Größenordnung (also Faktor 10) unterscheiden und wobei beide Werte zu beherrschbaren Strömen führen. Dabei wird jeweils die Klemmenspannung und der Laststrom gemessen. Natürlich sollte das Messgerät möglichst genau sein, aber tatsächlich spielt sein Innenwiderstand nur eine untergeordnete Rolle, da er bei beiden Messungen (annähernd) derselbe ist. - Auch die Werte der Lastwiderstände müssen weder genau noch überhaupt bekannt sein, solange sie hinreichend unterschiedlich sind.
Die gemessenen Spannungs- und Stromwerte werden voneinander abgezogen (der größere vom kleineren, so dass der Betrag positiv ist) und durcheinander geteilt. Das Ergebnis ist der Innenwiderstand der Quelle.
Ri = ΔU / ΔI
also
Ri = (Um1 - Um2) / (Im1 - Im2)
Tatsächlich findet eine solche Messung automatisiert statt, wenn mit einem Messgerät für Schleifenimpedanz (oder auch Netzinnenwiderstand) der hinreichend kleine Wert dieser Größen nachgewiesen werden soll. Die kleine Schleifenimpedanz (der kleine Netzinnenwiderstand) soll für ausreichend große Kurzschlusströme sorgen, um das schnelle Auslösen von Überstromschutzorganen (und damit das Abschalten der Spannung) sicherzustellen.
Man unterscheidet drei sog. "Anpassungen" von Spannungs- bzw. Stromquelle und Verbraucher:
Die Spannungsanpassung ist die am häufigsten vorkommende Art des Verhältnisses von Quellen- (Ri) und Lastwiderstand (Rl). Die Quelle kommt einer idealen Spannungsquelle (Ri = 0) nahe, weil Ri << Rl (Mindestbedingung: Rl = 10 * Ri).
Die Spannung ist also annähernd konstant und im Allgemeinen von der Last unabhängig. Die Leistung wird praktisch ausschließlich an der Last und nur zu einem sehr geringen Teil am Innenwiderstand umgesetzt.
Spannungsanpassung liegt der Energietechnik vor und in der Übertragung von Signalen bei Audiosignalen (Niederfrequenz!)
Spannungsanpassung in der Nähe der Leistungsanpassung heißt Überanpassung.
Die Leistungsanpassung ermöglicht es, einer Quelle die maximale Leistung zu entnehmen. Innenwiderstand und Last sind gleich groß: Ri = Rl.
Leistungsanpassung stellt zwar die maximale Leistungsübertragung von der Quelle an die Last sicher, doch wird dieselbe Leistung auch am Ri in der Quelle umgesetzt. Das heißt 50 % der Quellenleistung werden an die Last übertragen.
Daher findet die Leistungsanpassung vor allem in der Hochfrequenztechnik Anwendung. Hier werden die Impedanzen von Quelle und Last leistungsangepasst, um Reflexionen zu vermeiden. Das ist der Grund warum Antennenleitungen (für haushaltsüblichen Rundfunk Impedanz 75 Ω) nicht mit einer einfachen Klemme parallgeschaltet werden dürfen.
Die Stromanpassung kommt relativ selten vor. Die Quelle kommt einer idealen Stromquelle (Ri = unendlich) nahe, weil Ri >> Rl (Mindestbedingung: Ri = 10 * Rl).
Der Strom ist also annähernd konstant und im Allgemeinen von der Last unabhängig. Der größte Teil der Leistung wird am Innenwiderstand der Quelle umgesetzt.
Stromanpassung wird beim Laden von Akkumulatoren (NiCd, NiMH, aber nicht bei Bleiakkus!) und in der Messtechnik verwendet.
Stromanpassung in der Nähe der Leistungsanpassung heißt Unteranpassung.
Stark vereinfachtes Atommodell nach Niels Bohr.
Niels Henrik David Bohr (* 7. Oktober 1885 in Kopenhagen; † 18. November 1962 ebenda), dänischer Physiker, Nobelpreis für Physik 1922.
Positive Protonen und Neutrale Neutronen im Kern
Negative Elektronen in der Hülle.
Ein Elektron trägt die Elementarladung e = -1,602 * 10^-19 As.
Kern: sehr klein, sehr schwer, macht die Masse des Atoms aus.
Hülle: sehr groß, sehr leicht, bildet die Form des Atoms.
Wenn Kern apfelsinengroß, umkreist das erste Elektron ihn in 100 m Entfernung, dazwischen leerer Raum.
Periodensystem der Elemente stellt alle Informationen zur Verfügung:
Die Nachkommastellen der Atommasse kann man "für den Hausgebrauch" ignorieren, sie stammen aus dem statistischen Mittel, das aufgrund von sogenannten Isotopen, das sind Atome mit gleicher Ordnungszahl (also gleiches Element), aber einer vom Mittelwert abweichenden Anzahl Neutronen, auftritt. Bekannte Isotope sind z.B. das spaltbare Uran 235 (normal ist Uran 238) sowie die Isotope des Wasserstoffs Deuterium (1P + 1N) und Tritium (1P + 2N), die in Verbindung mit Sauerstoff sogenanntes "schweres Wasser" bilden. Isotope unterscheiden sich nur physikalisch durch ihre Masse, chemisch sind sie nicht zu unterscheiden. Isotope lassen sich durch zentrifugieren trennen.
Elektronen der äußersten Schale heißen Valenzelektronen (sie bestimmen die chemische "Wertigkeit" eines Elements). Sie sind bei Metallen frei beweglich und können sich von einem zum anderen Atom bewegen solange ihre Gesamtzahl im Atomverband "passend" zu den Protonen der Kerne bleibt. Dieser freien Beweglichkeit wegen spricht man bei Metallen von einem "Elektronengas", das die Atome umgibt und für deren Zusammenhalt, nämlich die Metallbindung sorgt. Elektronengas erklärt die Verformbarkeit von Metallen und ihre Leitfähigkeit für elektrischen Strom sowie ihre gute Wärmeleitfähigkeit.
Diese Stoffe werden durch den Leitungsvorgang chemisch zersetzt (Elektrolyse). Ionen sind ganze Atome, die elektrisch geladen sind, also ein oder mehrere Elektronen zuviel (-) bzw. zuwenig (+) haben.
Positive Ionen heißen Kationen, weil sie sich an der Kathode (negative Elektrode) abscheiden.
Negative Ionen heißen Anionen, weil sie sich an der Anode (positive Elektrode) abscheiden.
Die Elektrolyse tritt auch auf, wenn die Elektrolyte von Wechselstrom durchflossen werden, daher ist dringend von Verzehr durch direkten Stromfluss erwärmter Speisen (die berühmte Wurst zwischen den Gabelzinken) und Getränken (zwei Raiserklingen in einem Glas Wasser) abzuraten!
silicon (Silicon Valley) = Silizium (Silizium-Tal)
[silliken]
silicone = Silikon (langkettige Siliziumverbindung)
[silikohn]
Halbleiter sind Stoffe, die unter Normalbedingung Nichtleiter sind, aber unter bestimmten Bedingungen (Temperatur, Licht/Strahlung, B-Feld, E-Feld, Strom, Verschmutzung) leitend werden.
PTC - Positive Temperature Coefficient - Widerstand wird mit steigender Temperatur größer
NTC - Negative Temperature Coefficient - Widerstand wird mit steigender Temperatur kleiner
Beachten:
Δϑ = Tneu - Talt
Temperaturerhöhung (+), Temperaturverringerung (-)
Widerstandsänderung:
ΔR = R * α * Δϑ
[ΔR] = Ω * 1/K * K
Wärmedehnung gehört zwar nicht zur Elektrotechnik, aber das sie den gleichen "Formelgesetzen" folgt, sei hier der Zusammenhang hergestellt und aufgezeigt.
Achtung:
α elektrisch und α mechanisch sind verschiedene Stoffeigenschaften, die aber dennoch dieselbe Einheit, nämlich 1/K haben!
Auch hier gilt:
Δϑ = Tneu - Talt
Temperaturerhöhung (+), Temperaturverringerung (-)
Längenausdehnung:
Δl = l * α * Δϑ
[Δl] = m * 1/K * K
Volumenausdehnung:
ΔV = V * γ * Δϑ
mit γ = 3 * α
[ΔV] = m^3 * 1/K * K
Ein geladener Kondensator und sein elektrisches Feld.
Feldlinien beginnen und enden auf einem Leiter, haben also einen Anfangs- und Endpunkt. Sie durchsetzen nur Nichtleiter (Dielektrika). Die Richtung ist diejenige in die sich eine positive Probeladung im Feld bewegen würde.
E = U / d
[E] = V/m
F = E * Q
E = F / Q
[E] = V/m = N / As
[Q] = As = C
Ladung Q
1 As = 1 C, C = Coulomb (Charles Augustin de Coulomb, 1736 - 1806, Kräfte elektr. Ladungen, Haftreibung)
C = Q / U [C] = As / V = F, F = Farad (Michael Faraday, englischer Physiker, 1791-1867, Elektrolyse, Faraday'scher Käfig)
C = εr * ε0 * A / d
[C] = 1 * As / Vm * m^2 / m,
[ε0] = As / Vm = F / m
εr = Permittivitätszahl = Eigenschaft des Dielektrikums.
ε0 = Elektrische Feldkonstante.
Im Dielektrikum kann es zu einer Ladungsverschiebung (Influenz) kommen. Je stärker die Influenz des Dielektrikums, umso höher die Dielektrizitätszahl, umso größer die Kapazität des Kondensators.
Einfache Feldverläufe: Leiterpaar über Plafond, koaxiale Leitung; komplizierter: vierseilige Hochspannungsleitung
Ladung und Entladung eines Kondensators: Schaltbild.
Lade-/Entladekurven von Spannung und Strom über Zeit. Spannung bleibt gleich, Strom kehrt sich in der Flussrichtung um!
τ = R * C
[τ] = s = Ω * As/V bedenken: [R] = Ω = V / A
1 * τ = 63 % Ladung/Entladung
5 * τ = 99 % Ladung/Entladung
Uc =
Spannung (und Strom) an einem Kondensator.
Kondensator hält Spannung konstant, der Strom am Kondensator kann springen. Also: erst Strom, dann Spannung, oder: Spannung nach Strom.
Die Ladung eines offenen Kondensators ist die konstante Größe (ändert sich nicht, weil sie nicht abfließen kann). Werden die Platten voneinander entfernt, so wird die Spannung größer (Ladungen werden getrennt, das Auseinanderziehen der Platten ist Arbeit, die sich im Kondensator wiederfindet).
Für die Berechnungen am Kondensator ist diese Größe nur selten wichtig, sie wird hier wegen der Gegenüberstellung zum Magnetfeld genannt.
D = Q / A
[D] = As / m^2
D = εr * ε0 * E
[D] = As / m^2 = As / Vm * V / m
Einfluss des Dielektrikums (Kapazitätsberechnung)
Influenz.
C = εr * ε0 * A / d
[C] = As/V = 1 * As/Vm * m^2 / m
Eine von Strom durchflossene Spule und ihr Magnetfeld.
Magnetische Feldlinien sind geschlossen, haben also keinen Anfangs- und Endpunkt - und deshalb auch keinen magnetischen Monopol. Ihre Richtung ist diejenige in die sich eine Probenordpol im Feld bewegen würde.
H = I * n / lm
[H] = A/m
n = Windungszahl, lm = mittlere Feldlinienlänge
Die magnetische Feldstärke ist direkt proportional zum Strom. Der an ihrer Erzeugung beteiligte Strom heißt Durchflutung Groß-Theta
Θ = I * n
[Θ] = A
Der Strom durch einen Draht wird also so oft zur Erzeugung des Feldes gezählt wie er tatsächlich genutzt wird. Die Durchflutung wird auch "magnetische Spannung" (sozusagen der "Druck mit das Magnetfeld aufgebaut wird") genannt.
Der magnetische Fluss ist ein Maß für die Gesamtheit aller Feldlinien eines Magnetfeldes. Er entspricht der Ladung eines Kondensator, die das elektrische Feld erzeugt.
[Φ] = Vs = Wb, Wb = Weber (Eduard Wilhelm Weber, dt. Pysiker, 1804 - 1891)
Wird der magnetische Fluss durch die Querschnittsfläche des Feldes geteilt ergibt sich die magnetische Flussdichte (entsprechende Größe beim Kondensator ist die Flächenladungsdichte). Die magnetische Flussdichte ist "die" wichtige Größe für die Stärke eines Magnetfeldes (die entsprechende Größe des Kondensators "Flächenladungsdichte" ist dagegen eher unwichtig).
B = Φ / A
[B] = Vs / m^2 = T, T = Tesla (Nikola Tesla, serbischer Erfinder u. Ingenieur, 1856 - 1943, Wechselstromdynamo, -motor)
B = μ0 * μr * H
μr = Permeabilitätszahl.
μ0 = Magnetische Feldkonstante, μ0 = 1,257 * 10^-6 Vs/Am = 1,257 * 10^-6 H/m
L = Φ / I
[L] = Vs / A = H, H = Henry (Joseph Henry, 1797 - 1878, us-amerikanischer Physiker, Selbstinduktion, 1. Vorsitzender der Smithsonian Institution)
L = μr * μ0 * A / lm
[L] = Vs/A = 1 * Vs / Am * m^2 / m
[μ0] = Vs / Am = H / m, "Magnetische Feldkonstante"
Permeabilitätszahl = Eigenschaft des vom Magnetfeld durchsetzten Materials.
Im Dielektrikum kann es zu einer Ladungsverschiebung (Influenz) kommen. Je stärker die Influenz des Dielektrikums, umso höher die Dielektrizitätszahl, umso größer die Kapazität des Kondensators.
Einfache Feldverläufe: Leiterpaar über Plafond, koaxiale Leitung; komplizierter: vierseilige Hochspannungsleitung
Ladung und Entladung einer Spule: Schaltbild.
Lade-/Entladekurven von Strom und Spannung über Zeit. Strom bleibt gleich, Spannung kehrt sich in der Polarität um!
τ = L / R
[τ] = s = Vs/A / Ω, bedenken: Ω = V / A
1 * τ = 63 % Ladung/Entladung
5 * τ = 99 % Ladung/Entladung
Il =
Strom (und Spannung) an einer Spule.
Spule hält Strom konstant, die Spannung an der Spule kann springen. Also: erst Spannung, dann Strom, oder: Strom nach Spannung ("an Induktivitäten Ströme sich verspäten").
Elektrolyrikkommentar
Der Merksatz:
"An Induktivitäten Ströme sich verspäten"
ist sicher sehr brauchbar, während der sozusagen gegenteilige Satz: "Am Kondensator eilt der Strom vor" von mir nicht gerade geliebt wird. Er ist zwar richtig, doch 1. muss er sehr eigenwillig betont werden und 2. halte ich es für mnemotechnisch schlecht am Kondensator etwas über den Strom auszusagen. Denn "Bei Kondensatoren redet man über Spannung" und "Bei Spulen redet man über Strom" alles was beim einen für das eine gilt, gilt beim anderen für das andere. - Gesucht ist also eine lyrische Verkleidung ür den Satz "Am Kondensator eilt Spannung nach". - Vielleicht:
"Bei Kapazität kommt Spannung spät".
Die Alliteration am Ende ist zumindest nicht schlecht.
Die konstante Größe des magnetischen Kreises ist.
Sinusförmige Wechselspannung.
U(α) = U-Dach * sin (α)
α = 360° / T * t
U(t) = U-Dach * sin (360° / T * t) = U-Dach * sin (360° * f * t)
Wie muss der Motor (im Stern) anlaufen?
normal --> direkt vorm Motor
--> IAus = IMotor / Wurzel(3)
schwer --> direkt nach der Sicherung, vor dem Netzschütz
--> IAus = IMotor
überlang --> im Dreieckstromkreis vor dem Dreieck-Schütz, Motor läuft ohne(!) Schutz im Stern an
--> IAus = IMotor / Wurzel(3)
Aufgabe zwischendurch
Zwei Lampen (Lampe 1 und Lampe 2) in Reihe, zur Lampe 1 wird ein Widerstand parallel geschaltet. Was passiert mit Lampe 1 und mit Lampe 2?
Grundsätzliche Überlegungen:
Die Gasentladung in der Leuchtstoffröhre (das ist eine Niederdruck-Quecksilberdampflampe) ist ein rein Ohm'scher Widerstand. Allerdings hat eine Gasentladung einen negativen differentiellen Widerstand (keinen "negativen Widerstand", das gibt es nicht oder heißt "Spannungsquelle"). Das heißt der Widerstand der Gasentladung ist abhängig vom durch sie fließenden Strom und wird mit zunehmenden Stromfluss kleiner. Trägt man den Widerstand R einer Gasentladung über den Strom I auf, dann ergibt sich eine "fallende" Kurve, die Steigung (das Verhältnis von ΔU/ΔI) ist negativ!
Daher ist für das Einstellen eines stabilen Arbeitspunktes der Gasentladung ein Vorwiderstand nötig. - Ohne den Vorwiderstand wird der sich ausbildende Lichtbogen die Röhre zerstören.
Dies ist im Prinzip vergleichbar mit einer Leuchtdiode (LED), die ebenfalls einen nicht-linearen Widerstand darstellt (und daher auch mit Vorwiderstand betrieben werden muss).
Man könnte auch sagen, dass der Vorwiderstand aus der Spannungsquelle des Netzes für die Leuchtstofflampe eine Stromquelle macht. Stromquellen haben ja einen (im Idealfall) unendlich großen Innenwiderstand. Natürlich kann der Vorwiderstand einer Leuchtstofflampe genau wie bei der LED ein rein Ohm'scher Widerstand sein. Allerdings wird dann an diesem eine nicht unerhebliche Wirkleistung umgesetzt, die zu entsprechender Wärmeentwicklung führt.
Tatsächlich gibt (gab) es aber Anwendungen, die diesen Nachteil in Kaufgenommen haben: Die stabförmigen Handlampen, die im KFZ-Handwerk oft als Inspektionsleuchte zum Einsatz kamen, waren Leuchtstofflampen mit Ohm'schen Vorwiderstand. Dieser wurde auf voller Länge der Zuleitung realisiert, um die Wärmeabgabe hinreichend zu verteilen. Die Zuleitung war also eine spezielle Widerstandsleitung, die auch nicht gekürzt werden durfte. Dieser Hinweis "Zuleitung nicht kürzen!" fand sich dementsprechend auf allen Leuchten, die so aufgebaut waren. Grund für diese Art des Betriebs war, dass die Leuchten leicht (eine Drossel hat ein erhebliches Gewicht) und billig sein sollten und ohnehin nur eine geringe Leistung hatten (meist 8 W).
Die klassische Leuchtstofflampenschaltung.
Die einfache Schaltung einer Leuchtstofflampe ist also lediglich eine Reihenschaltung eines Ohm'schen Widerstandes R (die Lampe) und einer Spule L (die Drossel). Die Drossel wiederum hat auch einen Ohm'schen Widerstand. Letzterer kann einfach mit dem Ohmmeter ermittelt werden, soll aber hier zunächst vernachlässigt werden.
Um die Leuchte zu starten, kann ein entsprechender Starter oder der einfachen Erklärung halber auch ein schlichter Taster verwendet werden. - Für die weitere Betrachtung spielt der Startvorgang aber keine Rolle.
Leuchtstofflampe sei eine T8, 590 mm lang, Leistung 18 W. Die Schaltung liegt an Netzspannung, also rund 230 V. Misst man nun die Spannung über der eingeschalteten Röhre, so ergeben sich UR = ca. 65 V. Die Spannung über der Drossel wird zu UL = ca. 205 V gemessen. Die rechnerische Abschätzung des Stromes durch die Lampe ergibt 18 W / 65 V = 277 mA, ein 400 mA-Messbereich sollte daher für die Strommessung ausreichen. Die tatsächlich Messung ergibt ca. 255 mA. - Damit sind also alle relevanten Messwerte aufgenommen und müssen interpretiert werden.
Der Strom in einer Reihenschaltung (unverzweigter Stromkreis) ist an jeder Stelle gleich groß, die Spannung über die Einzelwiderstände addieren sich zur Gesamtspannung. Hier fällt auf, dass dies so einfach nicht stimmen kann: UR + UL = 65 V + 205 V = 270 V =/= 230 V!
An der Drossel (einer Spule oder Induktivität) liegen Strom und Spannung nicht in Phase! Der Strom eilt der Spannung 90° nach.
Am Ohm'schen Widerstand dagegen zeigen Strom und Spannung in die selbe Richtung, sie sind also in Phase.
Daraus folgt für Gesamtspannung, dass sie sich aus der geometrischen(!) Addition der beiden Teilspannungen ergibt. Diese sind zueinander um 90° verdreht (phasenverschoben), es ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem über den Satz des Pythagoras die Gesamtspannung zu errechnen ist.
Spannungsdreieck mit Strom.
UR^2 + UL^2 = U0^2
<=> U0 = SQRT ( UR^2 + UL^2 )
U0 = SQRT ( 65^2 V^2 + 205^2 V^2 ) = 215 V
Das entspricht nicht ganz den erwarteten 230 V, liegt aber in der richtigen Größenordnung.
Die Phasenverschiebung zwischen U0 und I (beachten: UR||I!) wird mit dem Phasenwinkel phi bezeichnet.
Die Wirkleistung im Wechselstromkreis wird zunächst wie im Gleichstromkreis berechnet, aber zusätzlich mit dem Cosinus des Phasenwinkels phi multipliziert. Schaut man sich das Spannungsdreieck an, dann gilt:
U0 * cos phi = UR => UR / U0 = cos phi ("Ankathete / Hypotenuse")
U0 * sin phi = UL => UL / U0 = sin phi ("Gegenkathete / Hypotenuse")
UR / UL = tan phi ("Ankathete / Gegenkathete")
Der Strom liegt aber immer parallel zu UR. Das heißt die Formel zur Leistungsberechnung (wenn man das Wort "Leistung" nicht spezifiziert, ist immer die Wirkleistung gemeint) im Wechselstromkreis betrachtet nur denjenigen Anteil der Netzspannung, der parallel zum Strom liegt, also die Spannung UR.
Derjenige Anteil der Netzspannung, der genau senkrecht zum Stromzeiger steht, ist die Spannung UL an der Spule. Sie wird durch den Sinus des Winkels multipliziert mit der Netzspannung errechnet.
Das Dreieck für die Leistungen ist dem Dreieck für die Spannungen immer "ähnlich" (im strengen mathematischen Sinne). Denn alle Spannungen werden mit demselben Faktor multipliziert, nämlich dem Strom I.
U0 * I = S => Scheinleistung, [S] = VA (Voltampere) UR * I = P => Wirkleistung, [P] = W (Watt) UL * I = Q => Blindleistung, [Q] = var (Voltampere Reaktiv) für die oben genannten Zahlenwerte ergibt sich: S = 230 V * 255 mA = 58 VA P = 65 V * 255 mA = 18 W S = 205 V * 255 mA = 52 var
Leistungsdreieck dem Spannungsdreieck mit Strom überlagern.
Der Lichtstrom der Leuchtstofflampe wird also durch die in der Röhre umgesetzte Wirkleistung erzeugt. Da an der Lampe (Ohm'scher Widerstand!) nur UR = ca. 65 V anliegen, fließt durch sie ein Strom I = ca. 255 mA, um die spezifizierten 18 Watt (knapp) zu erreichen.
An der Spule, die als Vorwiderstand zur Reduktion der Spannung und des Stromes eingesetzt wird, wird (im Idealfall) keine Wirkleistung, sondern nur (induktive) Blindleistung umgesetzt. Das heißt der in der Spule fließende Strom baut in derselben und in ihrem Eisenkern ein Magnetfeld auf (in diesem ist die Energie gespeichert), dessen Energie wieder zurück in das Netz fließt, wenn sich die Richtung des Wechselstromes umkehrt. Diese Blindleistung "verbraucht" also keine Energie. Die Energie wird aber tatsächlich "hin und her" transportiert.
Misst man über die gesamte Leuchtenschaltung, scheint diese S = 230 V * 255 mA Leistung aufzunehmen, also gute 58 VA. Die Blindleistung fließt aber in das Netz zurück nur die Wirkleistung wird von der Schaltung aufgenommen. - Daher heißt die oben gemessen Leistung auch "Scheinleistung".
Damit ist auch die Begründung für den Einsatz einer Induktivität/Spule als Vorwiderstand gegeben: Der Strom durch die Gasentladung wird begrenzt und am begrenzenden Widerstand wird (im Idealfall!) keine Wirkleistung umgesetzt.
Ist also alles "perfekt?" - Nein!
1. Der Transport der Blindleistung setzt an allen Ohm'schen Widerständen in den Zuleitungen auch Wirkleistung um. Das heißt selbst wenn die Spule "ideal" wäre und selbst keine Wirkleistung umsetzt, "macht der Transport der Blindleistung die Zuleitungen warm". Das ist der Grund, warum es eine Blindleistungskompensation gibt.
2. Die Spule ist keine ideale Induktivität. Sie hat einen Ohm'schen Widerstand an dem Wirkleistung umgesetzt wird. Außerdem entstehen Wirkleistungsverluste durch das Ummagnetisieren des Eisenkerns. Das ist der Grund, warum "Konventionelle Vorschaltgeräte" (KVG) durch "Verlustarme Vorschaltgeräte" (VVG) ersetzt wurden. Diese haben größere Kupferquerschnitte und bessere oder mehr Magnetwerkstoffe (größere Eisenkerne).
Die Überschrift dieses Kapitels ist schon die wichtigste Grundaussage: Kompensation in der Wechselstromtechnik bedeutet immer die Blindleistungen zu kompensieren. Nicht Ströme oder Spannung oder Widerstände, sondern Leistungen.
Die Blindleistung gibt es sozusagen in zwei Ausprägungen: Induktive Blindleistung (verursacht durch Spulen/Induktivitäten) und Kapazitive Blindleistung (verursacht durch Kondensatoren/Kapazitäten). Beide sind "reaktiv", das heißt die aufgenommene Energie wird in das Netz zurückgespeist. Allerdings wird die Energie zu jeweils unterschiedlichen Zeiten aufgenommen und wieder abgegeben. Das heißt, eine induktive Blindleistung kann durch eine kapazitive Blindleistung kompensiert werden. Dann wird die Energie der Spule nicht in das Netz zurückgespeist, sondern in einen schaltungstechnisch "nahen" Kondensator. Der Kondensator nimmt also die Energie der Spule auf, wenn diese sie gerade loswerden will und er gibt die Energie gerade dann ab, wenn die Spule sie wieder aufnehmen kann. Das ist natürlich nicht verlustfrei, es muss ständig eine gewisse Energie aus den Netz ergänzt werden, aber das Netz selbst wird viel weniger belastet.
Bei Leuchtstofflampenschaltungen ist die Parallelkompensation von Einzellampen sehr gebräuchlich: Der kompletten oben ausführlich beschriebenen Schaltung wird ein Kondensator parallel geschaltet.
Leuchtstofflampenschaltung mit Parallelkondensator.
Die Induktivität/Spule/Drossel nimmt eine induktive(!) Blindleistung von QL = 52 var auf. Diese muss (im Idealfall) durch einen kapazitive Blindleistung gleicher Größe kompensiert werden. Dann würde am Netzanschluss der Lampe kein Blindstrom mehr fließen müssen, weil sich die die beiden Blindlasten "aufheben", also kompensieren.
Leistungsdreieck mit zusätzlicher kapazitiver Blindleistung.
QL - Induktive Blindleistung QC - Kapazitive Blindleistung XL - Blindwiderstand der Spule XC - Blindwiderstand des Kondensators
Die Frage ist also: Wie groß muss ein Kondensator sein, der dieselbe Blindleistung wie die Spule umsetzt?
Der Kondensator liegt direkt an der Spannungsquelle von 230 V.
Berechnung des notwendigen Stromes durch den Kondensator:
QC = U0 * IC
<=> IC = QC / U0 = 52 var / 230 V = 226 mA
Berechnung des Widerstandes:
XC = U0 / IC = 230 V / 226 mA = 1017 Ω
Natürlich geht das auch in einem Schritt, wenn man in die Formel für die Leistung an Stelle des Stromes U / R einsetzt, um direkt den Widerstand in der Gleichung zu haben:
QC = U0^2 / XC
<=> XC = U0^2 / QC = 230^2 V^2 / 52 var = 1017 Ω
Bei diesen Rechnungen kommen nur die bekannten Formeln der Leistungsberechnung und des Ohm'schen Gesetzes zur Anwendung! Allerdings ist P durch die jeweilige Blindleistung QL oder QC und R durch den jeweiligen Blindwiderstand XL oder XC ersetzt.
Nun muss noch die Größe des Kondensators bestimmt werden. Es gilt:
XC = 1 / ( ω * C) mit ω = 2 * π * f
<=> XC = 1 / ( 2 * π * f * C)
<=> C = 1 / ( 2 * π * f * XC)
C = 1 / ( 2 * π * 50 Hz * 1017 Ω ) = 3,13 µF
Für zukünftige Berechnungen kann man auf diese Herleitung verzichten und XC wieder einsetzen:
C = 1 / ( 2 * π * f * XC) mit XC = U0^2 / QC
<=> C = QC / ( 2 * π * f * U0^2)
<=> C = QC / ( ω * U0^2)
Insbesondere letzte Formel findet man häufig als praktische Berechnungsgrundlage in Tabellenbüchern.
Damit ist also die Wert der Kapazität des Kondensators bestimmt. - Abgesehen von der Kapazität ist in der Praxis aber auch unbedingt auf die Spannungsfestigkeit des Kondensators zu achten! - Sie sollte
(Zentral-)Kompensation im Drehstromnetz immer im Dreieck, weil die notwendigen Kapazitäten deutlich kleiner sind (die notwendige Spannungsfestigkeit der Kondensatoren aber größer).
QStrang = Q / 3
QStrang = UStrang^2 / XC
XC und C bestimmen
Auf bestimmten cos(φ) kompensieren: QDiff / P = tan(φ)
QDiff = P * tan(cos^-1(φ))
Platzhalterabsatz
Ist hier nur ein Platzhalter.
Platzhalterabsatz
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Was macht |