Laden und Entladen eines Kondensators an einem (belasteten?) Spannungsteiler (Lösung)

Ein Kondensator wird in der abgebildeten Schaltung geladen und entladen. Die Werte der Widerstände betragen für R1 = 400 Ω und für R2 = 600 Ω. Der Kondensator hat eine Kapazität von C1 = 2200 µF, die Spannung beträgt U0 = 24 V.

a) Auf welche Spannung lädt sich der Kondensator beim Schließen von S1 auf?

Der Kondensator lädt sich auf die Spannung UC = U2 über R2 des unbelasteten Spannungsteilers auf.
UC = U2 = U0 * R2 / (R1 + R2) (unbelasteter Spannungsteiler)
UC = U2 = 24 V * 600 Ω / (400 Ω + 600 Ω) = 14,4 V

Begründung:
Wenn der Kondensator vollständig geladen ist, fließt kein Strom mehr in ihn hinein. Damit ist der Spannungsteiler, über den das Laden erfolgte, nun unbelastet. Deshalb gilt in diesem Fall die einfache Formel für den unbelasteten Spannungsteiler!

b) Wenn der Kondensator vollständig geladen ist und der Schalter S1 geöffnet wird, wie lange dauert es, bis der Kondensator vollständig entladen ist?

Das Laden wie auch das Entladen eines jeden Kondensators dauert (unabhängig von der Spannung) näherungsweise 5 * τ ("tau", mit τ = R * C). Der Entladewiderstand ist in diesem Fall R2. Daraus folgt:
5 * τ = 5 * R2 * C1
5 * τ = 5 * 600 Ω * 2200 µF = 1,32 s

Begründung:
Wenn der Schalter geöffnet ist, besteht der Stromkreis nur noch aus dem Kondensator und dem Widerstand R2. Daher ist τ so einfach zu berechnen.

c) Wenn der Kondensator vollständig entladen ist und der Schalter S1 geschlossen wird, wie lange dauert es, bis der Kondensator vollständig geladen ist?

Idee und Begründung für den Rechenweg:
Das Laden des Kondensators dauert natürlich ebenfalls 5 * τ. Die unerwartete Schwierigkeit ist allerdings, den Ladewiderstand anzugeben. Es handelt sich beim Laden um einen belasteten Spannungsteiler, dessen Klemmenspannung ja von der Last abhängt! Diese Last, also der "Widerstand" des Kondensators hängt aber sozusagen von seinem Ladezustand ab und ist damit nicht einfach berechenbar.

Allerdings lässt sich für jeden Spannungsteiler eine Ersatzspannungsquelle angeben, die nur noch die Werte U0' und Ri' hat. Damit wäre dann Ri' der Ladewiderstand zum Berechnen des τ.

Die Leerlaufspannung U0' der Ersatzspannungsquelle wurde bereits in a) berechnet, wird aber in diesem Aufgabeteil gar nicht benötigt.

Den Innenwiderstand Ri' berechnet man nach der Strategie, dass die ideale(n) Spannungquelle(n) durch "Leitungen" ersetzt werden (d.h. sie werden durch ihren Innenwiderstand von 0 Ω ersetzt) und dann der Widerstand dieser neuen Schaltung aus Sicht der Last berechnet wird. Der sich ergebende Wert ist der Innenwiderstand Ri' der Ersatzspannungsquelle und in diesem Fall auch der Ladewiderstand des Kondensators. Er ergibt sich aus der Parallelschaltung (!) von R1 und R2:
Ri' = R1 * R2 / (R1 + R2) = 400 Ω * 600 Ω / (400 Ω + 600 Ω) = 240 Ω.

Die Ladezeit beträgt:
5 * τ = 5 * Ri' * C1
5 * τ = 240 Ω * 2200 µF = 6,6 s

» zurück zur Aufgabe

» zum Inhaltsverzeichnis Grundlagen Elektrotechnik